Question

【題目】已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經過點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在過點的直線與相交于不同的兩點，滿足？

若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）由題意布列的方程組，解之即可；（2）假設存在符合題意的直線，

由題意直線存在斜率，設直線的方程為，由，消去得 ，利用韋達定理表示，

即可求出直線的方程.

試題解析：

（Ⅰ）設橢圓的方程為

由得，則

所以的方程為且經過點

則，解得

故橢圓的方程為

（Ⅱ）假設存在符合題意的直線，

由題意直線存在斜率，設直線的方程為，

由，消去得

由得，解得

設， ，則，

由得

則

即

所以

整理得，解得

又，所以

故存在直線滿足條件，其方程為，即