Question

【題目】已知定義域為的單調減函數是奇函數，當時，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的解析式；

（Ⅲ）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）.

【解析】

（Ⅰ）利用定義域為R的函數f（x）是奇函數，求f（0）的值；

（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；

（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是減函數，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0對任意t∈R恒成立，利用判別式小于0即可求實數k的取值范圍．

（Ⅰ）因為定義域為的函數是奇函數，

所以.

（Ⅱ）因為當時，，

所以.

又因為函數是奇函數，所以.

所以.

綜上，

（Ⅲ）由得.

因為是奇函數，

所以.

又在上是減函數，所以.

即對任意恒成立.

令，則.由，解得.

故實數的取值范圍為．