Question

【題目】已知函數，且時有極大值.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若為的導函數，不等式（為正整數）對任意正實數恒成立，求的最大值.（注：）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.

【解析】

（Ⅰ）根據在時f(x)有極大值得或，再檢驗舍去，即得函數f(x)的解析式；（Ⅱ）原命題等價于，記，證明，原命題等價于等價于，記，求出k的最大值.

（Ⅰ）由，因為在時f(x)有極大值，

所以，從而得或，

時，，此時，當時，，當時，

，∴在時f(x)有極小值，不合題意，舍去；

時，，此時，符合題意。

∴所求的 .

（Ⅱ）由（1）知，所以等價于等價于

，即，

記，則,

由，得x＞k+1，所以在(0,k+1)上單調遞減，在(k+1,+∞)上單調遞增，

所以，

對任意正實數恒成立，等價于，

即，

記因為在(0,+∞)上單調遞減，又，，∵，∴k=1,2,3,4， 故k的最大值為4.