Question

【題目】已知函數的定義域為，當時，，且對任意的實數，，恒成立，若數列滿足（）且，則下列結論成立的是（ ）

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

取x＝y＝0，可得f（0）f（0）＝f（0），分析可得f（0）＝1．取y＝﹣x＜0，f（x）f（﹣x）＝1，可得f（x）1，設x1＜x2，則f（x1﹣x2）＝f（x1）f（﹣x2）1，可得函數f（x）在R上單調遞減．根據數列{an}滿足f（an+1）f（）＝1＝f（0）．可得an+10，a1＝f（0）＝1，可得：an+3＝an．進而得出結論．

對任意的實數x，y∈R，f（x）f（y）＝f（x+y）恒成立，

取x＝y＝0，則f（0）f（0）＝f（0），解得f（0）＝0或f（0）＝1．

當f（0）＝0時，，得余題意不符，故舍去.

所以f（0）＝1．

取y＝﹣x＜0，則f（x）f（﹣x）＝1，∴f（x），

設x1＜x2，則f（x1﹣x2）＝f（x1）f（﹣x2）1，∴f（x1）＞f（x2）．

∴函數f（x）在R上單調遞減．

∵數列{}滿足f（an+1）f（）＝1＝f（0）．

∴0，∵a1＝f（0）＝1，

∴，＝﹣2，＝1，，……．

∴＝．

∴＝，＝＝1．＝，＝＝﹣2．

∴f（）1，f（）＝f（1）＜1．

∴f（）＞f（）．

而f（）＝f（），f（）＜1＜f（），

f（）＝f（）＜f（）＝f（﹣2），

因此只有：C正確．

故選：C．