Question

【題目】如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱和一個正四棱錐組合而成， ， ．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求正四棱錐的高，使得二面角的余弦值是．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）要證面面垂直只需證線面垂直，而要證線面垂直，又往往需要利用線面垂直的性質定理；（Ⅱ）利用（Ⅰ）建系后求法向量，要注意兩個法向量夾角和二面角平面角關系，不要弄錯符號.

試題解析：（Ⅰ）證明：正三棱柱中， 平面，

所以，又， ，

所以平面， 平面，

所以平面平面．　

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，以為原點， ， ， 方向為， ， 軸建立空間直角坐標系，設正四棱錐的高為， ，則， ， ， ， ， ， ．

設平面的一個法向量，

則取，則，所以．

設平面的一個法向量，則

取，則， ，所以．

二面角的余弦值是，

所以，

解得．