Question

【題目】

如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別是AB，BC的中點．將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于P．

（1）求證：平面PBD⊥平面BFDE；

（2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明略 （2）

【解析】試題分析：證明面面垂直只需在一個平面內尋求一條直線和另一個平面垂直，本題尋找到直線，先證明垂直平面，然后得出面面垂直；求二面角使用法向量，建立空間直角坐標系，求出兩個半平面的法向量，用公式求出二面角的余弦.

試題解析：

證明：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，

∵點E，F分別是AB，BC的中點．將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于P．

∴PD⊥PF，PD⊥PE，

∵PE∩PF=P，PE、PF平面PEF．

∴PD⊥平面PEF．

又∵EF平面PEF，

∴PD⊥EF，又BD∩PD=D，

∴EF⊥平面PBD，

又EF平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE．

（2）連結BD、EF，交于點O，以O為原點，OF為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，

設在正方形ABCD的邊長為2，則DO=， =，PE=PF=1，PO==，

∴P（0，0，），D（0，，0），E（﹣，0，0），F（，0，0），

=（﹣，﹣，0），=（0，﹣，），=（，﹣，0），

設平面PDE的法向量=（x，y，z），

則，取y=1，則=（﹣3，，3），

平面DEF的法向量=（0，0，1），

設二面角P﹣DE﹣F的平面角為θ，

則cosθ===．

∴二面角P﹣DE﹣F的余弦值為．