Question

【題目】已知函數.

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數在其定義域內為增函數，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，設函數，若在上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）y=x-1；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）當時，求出切點坐標，然后求出，從而求出的值即為切線的斜率，利用點斜式可求出切線方程；
（Ⅱ）先求導函數，要使在定義域（0，+∞）內是增函數，只需在（0，+∞）內恒成立，然后將分離，利用基本不等式可求出的取值范圍；
（III）根據g（x）在[1，e]上的單調性求出其值域，然后根據（II）可求出的最大值，要使在[1，e]上至少存在一點x0，使得成立，只需，x∈[1，e]，然后建立不等式，解之即可求出的取值范圍．

試題解析：

（1）當a=1時，函數， ∴f（1）=1-1-ln1=0.，

曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=1+1-1=1．

從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=x-1， 即y=x-1．

（2）．

要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數，只需f′（x）≥0在（0，+∞）內恒成立．

即：ax2-x+a≥0得：恒成立．

由于， ∴， ∴

∴f（x）在（0，+∞）內為增函數，實數a的取值范圍是．

（3）∵在[1，e]上是減函數

∴x=e時，g（x）min=1，x=1時，g（x）max=e，即g（x）∈[1，e]

f'（x）=令h（x）=ax2-x+a

當時，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函數，f（1）=0＜1

又在[1，e]上是減函數，故只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]

而f（x）max=f（e）=，g（x）min=1，即≥1

解得a≥ ∴實數a的取值范圍是[，+∞）