Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=x2+2x．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求此函數在R上的解析式；
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t+1）+f（m﹣2t2）＜0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（﹣0）=﹣f（0），f（0）=0
（Ⅱ）設x＜0，則﹣x＞0，∴f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x，
又∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+2x，
∴ ．
（Ⅲ）任取x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ，
則 ，
∵x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ， ∴x1+x2+2＞0，x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
同理可證：函數f（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，又f（0）=0，
∴函數f（x）在R上單調遞增．
∵對任意的t∈R，不等式f（t+1）+f（m﹣2t2）＜0恒成立，
即f（t+1）＜﹣f（m﹣2t2）=f（2t2﹣m）恒成立，
∴t+1＜2t2﹣m，即 恒成立，
∴ ，
所以，實數m的取值范圍為
【解析】（Ⅰ）f（x）是定義在R上的奇函數f（﹣0）=﹣f（0），從而可得f（0）的值；（Ⅱ）設x＜0，則﹣x＞0，利用x＞0時，f（x）=x2+2x及f（x）=﹣f（﹣x），可求得此時f（x）的表達式，從而可得此函數在R上的解析；（Ⅲ）任取x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ， 利用定義法可判斷函數f（x）在R上單調遞增，再將不等式f（t+1）+f（m﹣2t2）＜0恒成立轉化為f（t+1）＜﹣f（m﹣2t2）=f（2t2﹣m）恒成立，分離參數m，利用恒成立思想可求實數m的取值范圍．