Question

【題目】設自然數。求證:全體不大于n的合數可重新排列(不一定按原來的大小順序排列)，使得每三個依次相鄰的數都有大于1的公因數(例如，當時，排列就滿足要求)。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

對于，下面構造一種排列，使之滿足要求.

令為所有的小于或等于的奇質數.因為，所以，即.令x為合數，且x為的奇數倍數}，

，

特別地，.

C={x是小于或等于n的偶合數，且.

我們再證明如下兩個事實:

(1)

(2) 及.

因為，所以，且，從而，即.故(1)得證.

因為n≥25.所以，.從而，.

又均為奇數.所以，，從而，(它等價于).故(2)得證.

由(1)(2)可知把全體不大于n的合數組成如下的一個排列:

容易驗證:排列①中各數兩兩不相等，它們恰是不大于n的全體合數且每三個依次相鄰的數都有大于1的公因數.故本題得證.