Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．

（Ⅰ）若直線PB與CD所成角的大小為，求BC的長；

（Ⅱ）求二面角B－PD－A的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）2（2）

【解析】試題分析：（1）以為單位正交基底，建立空間直角坐標系．設，則，利用空間向量夾角余弦公式列方程求解即可；（2）分別求出平面PBD與平面PAD的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得結果.

試題解析：以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz．

因為AP＝AB＝AD＝1，所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．設C(1，y，0)，則＝(1，0，－1)，＝(－1，1－y，0)． …………………2分

因為直線PB與CD所成角大小為，

所以|cos＜，＞|＝||＝，

即＝，解得y＝2或y＝0（舍），

所以C(1，2，0)，所以BC的長為2．

（2）設平面PBD的一個法向量為n1＝(x，y，z)．

因為＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，

則即

令x＝1，則y＝1，z＝1，所以n1＝(1，1，1)．

因為平面PAD的一個法向量為n2＝(1，0，0)，

所以cos＜n1，n2＞＝＝，

所以，由圖可知二面角B－PD－A的余弦值為．