Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），直線l與曲線C：（y﹣1）2﹣x2＝1交于A，B兩點．

（1）求|AB|的長；

（2）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中，設點P的極坐標為，求點P到線段AB中點M的距離．

Answer 1

【答案】（1）2．（2）1

【解析】

（1）將直線l的參數方程的標準形式，代入曲線C的方程得．設點A，B對應的參數分別為μ1，μ2，可得μ1+μ2，μ1μ2的值，可得|AB|的長；

（2）將點P的極坐標化為直角坐標，可得中點M對應參數，由參數μ的幾何意義，可得點P到線段AB中點M的距離|PM|.

解：（1）∵直線l的參數方程為（t為參數），

∴直線l的參數方程的標準形式為（μ為參數），

代入曲線C的方程得μ2+2μ﹣4＝0．

設點A，B對應的參數分別為μ1，μ2，

則μ1+μ2＝﹣2，μ1μ2＝﹣4，

∴|AB|＝|μ1﹣μ2|＝2．

（2）∵點P的極坐標為，

∴由極坐標與直角坐標互化公式得點P的直角坐標為（﹣1，1），

∴點P在直線l上，中點M對應參數為1，

由參數μ的幾何意義，點P到線段AB中點M的距離|PM|＝1．