Question

【題目】已知拋物線，拋物線與圓的相交弦長為4.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）點為拋物線的焦點，為拋物線上兩點，，若的面積為，且直線的斜率存在，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）利用圓與拋物線的對稱性可知，點在拋物線和圓上，代入方程即可求解.

（2）設直線的方程為，點的坐標分別為，將拋物線與直線聯立，分別消，再利用韋達定理可得兩根之和、兩根之積，根據向量數量積的坐標運算可得，的面積為

即可求解.

（1）由圓及拋物線的對稱性可知，點既在拋物線上也在圓上，

有：，解得

故拋物線的標準方程的

（2）設直線的方程為，

點的坐標分別為.

聯立方程，消去后整理為，

可得，

聯立方程，消去后整理為，

可得，，得

由有，，

，可得

的面積為

可得，有或

聯立方程解得或，又由，

故此時直線的方程為或

聯立方程，解方程組知方程組無解.

故直線的方程為或