Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos2＋ccos2＝b.

(1)求證：a，b，c成等差數列；

(2)若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）根據已知的邊角關系，結合二倍角公式來化簡得到證明．

（2）

【解析】

解：(1)證明：acos2＋ccos2＝a·＋c·＝b，

即a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝3b.

由正弦定理得：

sin A＋sin Acos C＋sin C＋cos Asin C＝3sin B，

即sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝3sin B，

∴sin A＋sin C＝2sin B.

由正弦定理得，a＋c＝2b，

故a，b，c成等差數列．

(2)由∠B＝60°，b＝4及余弦定理得：

42＝a2＋c2－2accos 60°，

∴(a＋c)2－3ac＝16，

又由(1)知a＋c＝2b，

代入上式得4b2－3ac＝16，

解得ac＝16，

∴△ABC的面積S＝acsin B＝acsin 60°＝4.