Question

【題目】已知圓O：x2＋y2＝9及點C(2，1)，過點C的直線l與圓O交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，直線l的方程為________．

Answer 1

【答案】x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0

【解析】

當直線l的斜率不存在時，S△OPQ＝2，當直線l的斜率存在時，設l的方程為y﹣1＝k（x﹣2），（k），求圓心到直線PQ的距離d，得|PQ|＝2，利用基本不等式求面積最值，由此能求出直線l的方程．

當直線l的斜率不存在時，l的方程為x＝2，則P、Q的坐標為（2，），（2，），

∴S△OPQ2，

當直線l的斜率存在時，設l的方程為y﹣1＝k（x﹣2），（k），

則圓心到直線PQ的距離為d，則|PQ|＝2，

∴S△OPQd，

當且僅當9﹣d2＝d2，即d2時，S△OPQ取得最大值，

∵，∴S△OPQ的最大值為，

此時，由，解得k＝﹣7或k＝﹣1．

此時，直線l的方程為x+y﹣3＝0或7x+y﹣15＝0．