Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知曲線的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線過點，傾斜角為.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程與直線的參數(shù)方程；

（Ⅱ）設直線與曲線交于兩點，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線的直角坐標方程為：，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).

（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式，即可得到的直角坐標方程，進而得到直線的參數(shù)方程；

（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，求的，即可利用的幾何意義，求得.

試題解析：

（Ⅰ）因為，所以

所以，即曲線的直角坐標方程為：

直線的參數(shù)方程(為參數(shù))

即 (為參數(shù))

（Ⅱ）設點對應的參數(shù)分別為，

將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程得

整理，得，所以

因為，，

所以.