Question

【題目】已知函數，，（為自然對數的底數），且曲線與在坐標原點處的切線相同.

（1）求的最小值；

（2）若時，恒成立，試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由于曲線與在坐標原點處的切線相同，即它們在原點的導數相同，，，且切點為原點，，解得.所以，當時，；當時，，所以當時，取得最小值為；（2）由（1）知，，即，從而，即.構造函數，利用導數并對分類討論的圖象與性質，由此求得實數的取值范圍.

試題解析：

（1）因為，，

依題意，，且，解得，

所以，當時，；當時，.

故的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

∴當時，取得最小值為0.

（2）由（1）知，，即，從而，即.

設，

則，

（1）當時，因為，∴（當且僅當時等號成立）

此時在上單調遞增，從而，即.

（2）當時，由于，所以，

又由（1）知，，所以，故，

即.（此步也可以直接證）

（3）當時，令，則，

顯然在上單調遞增，又，，

所以在上存在唯一零點，

當時，，∴在上單調遞減，

從而，即，所以在上單調遞減，

從而當時，，即，不合題意.

綜上，實數的取值范圍為.