Question

【題目】如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，，，.

（1）若，求證：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）作，交于，連接，分別證明平面，平面，進而可證明平面平面，可得平面；

（2）計算可知，所以，結合，可知平面，從而可知平面平面，在平面內作平面，以B點為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的法向量，平面的法向量，再結合，可求出.

（1）如圖，作，交于，連接.

因為，所以是的三等分點，可得.

因為，，，所以，

因為，所以，

因為，所以，所以，

因為，所以，所以，

因為平面，平面，所以平面.

又，平面，平面，所以平面.

因為，、平面，所以平面平面，所以平面.

（2）因為是等邊三角形，，所以.

又因為，，所以，所以.

又，平面，，所以平面.

因為平面，所以平面平面.

在平面內作平面，以B點為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，

所以，，，.

設為平面的法向量，則，即，

令，可得.

設為平面的法向量，則，即，

令，可得.

所以，則，

所以二面角的正弦值為.