Question

【題目】設函數，e為自然對數的底數．

（1）求f（x）的單調區間：

（2）若ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立，求正實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的單調增區間為，單調減區間為，；（2）0＜a．

【解析】

（1）求導得，求得、的解集即可得解；

（2）ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立x﹣lnx，由（1）可得當x＝1時，函數y取得極大值，令g（x）＝x﹣lnx,(x>0)，利用導數研究其單調性即可得出x﹣lnx≥1．進而得出a的取值范圍．

（1）函數，e為自然對數的底數，

則，

令可得，，

∴當，時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

∴的單調增區間為，單調減區間為，；

（2）ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立x﹣lnx，x∈(0,+∞),

由（1）可得當x=1函數y取得極大值，

令g(x)= x﹣lnx,(x>0)，g′(x)= 1，

可得x=1時，函數g(x)取得極小值即最小值．

∴x﹣lnx≥g(1)=1，

當時，即為函數y的最大值，

∴x﹣lnx成立1，解得a；

當時，，不合題意；

綜上所述，0<a．