Question

【題目】已知函數，若函數在上存在兩個極值點.

（Ⅰ）求實數的取值范圍；

（Ⅱ）證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求出，分析的符號，的根的個數滿足的條件.

（Ⅱ）不妨設，令，，將目標不等式的參數減少，用分析的方法最后證明：，構造函數證明即可.

（Ⅰ）函數的定義域為，

因為，

令

所以.

當時，，

所以函數在上單調遞增.

即在上單調遞增，

在上至多一個零點，

所以在上至多一個極值點，不滿足條件.

當時，由，得（負根舍去），

當時，，

當時，，

所以函數在）上單調遞減；

在上單調遞增.

所以，

要使函數在上存在兩個極值點

則函數有兩個零點，即有兩個零點

首先，解得.

因為，且，

下面證明：.

設，

則.

因為，所以.

所以在上單調遞減，

所以.

所以實數的取值范圍為.

（Ⅱ）因為，是函數的兩個極值點，

所以，是函數的兩個零點

即，是函數的兩個零點，

不妨設，令，則.

所以即.

所以，即，，.

要證，需證.

即證，即證.

因為，所以即證．

設，

則.

所以在上單調遞減，

所以.

所以.