Question

【題目】已知函數， ，

（1）若，且在其定義域上存在單調遞減區間，求實數的取值范圍；

（2）設函數， ，若恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設函數的圖象與函數的圖象交于點、，過線段的中點作軸的垂線分別交， 于點、，證明： 在點處的切線與在點處的切線不平行.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】分析：第一問將代入，求得的解析式，函數在定義域上存在單調遞減區間，等價于導數有正解，結合二次函數圖像求得結果，第二問恒成立轉化為求函數最值來處理，第三問假設存在，最后推出矛盾，從而得結果.

詳解：（1），

則

因為函數存在單調遞減區間，所以有正解.

法1：因為開口向上的拋物線且過點

∴，∴，∴

法2： 有正解，∴，∴

（2）

∴ .

令， ，于是

當時， ， 在區間是減函數，

當時， ， 在區間是增函數.

所以在時取得最小值， ，

因為恒成立，所以，

因，∴，∴，

令，易知關于在上單調遞增，又 ，∴.

（3）證法一.設點、的坐標分別是， ，不妨設.

則點、的橫坐標為，

在點處的切線斜率為

在點處的切線斜率為.

假設在點處的切線與在點處的切線平行，則.

即，則

所以.設，則， .①

令， .則.

因為時， ，所以在上單調遞增，故.

則.這與①矛盾，假設不成立.

故在點處的切線與在點處的切線不平行.

證法二：同證法一得.

因為，所以.

令，得， .②

令， ，則.

因為，所以時， .

故在上單調遞增，從而，即.

于是在上單調遞增.

故，即.這與②矛盾，假設不成立.

故點在點處的切線與在點處的切線不平行.