Question

【題目】已知函數（其中）

（1）求的單調減區間；

（2）當時，恒成立，求的取值范圍；

（3）設 只有兩個零點（），求的值.

Answer 1

【答案】（1）單調減區間為（－∞，0）和（0,1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先求得函數的定義域，然后求導，利用導數求得函數的單調減區間.（2）構造函數，利用其二階導數研究它的單調性，由此求得的取值范圍.（3）化簡，利用導數，研究零點分布的情況，由此求得的值.

（1）的定義域為｛x｜x≠0｝，

＝＜0，解得：x＜1，

所以，的單調減區間為（－∞，0）和（0,1）

(2)“當時，恒成立”等價于“當時，恒成立”，其中.構造函數，則.記，則.

（i）若，則在上恒成立，在上單調遞增，因此當時，有，即，所以在上單調遞增，因此當時，有，即，故恒成立，符合題意.

（ii）若，則在上恒成立，所以在上單調遞減，因此當時，有，即，所以在上單調遞減，因此時，有，即.故不對任意恒成立，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.

(3)，所以，依題意知關于的方程只有兩個實數根，即關于的方程只有兩個非零實根，其中.故，或或.

（i）若，則，不符合題意；

（ii）若，比較對應項系數，得，解得.不滿足，故不符合題意；

（iii）若，同理可得，符合題意，此時.綜上所述，的值為.