Question

【題目】已知橢圓（a＞b＞0）經過點，且離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知A（0，b），B（a，0），點P是橢圓C上位于第三象限的動點，直線AP、BP分別將x軸、y軸于點M、N，求證：|AN||BM|為定值．

Answer 1

【答案】(1)+y2=1．(2)見解析.

【解析】

（1）由題意可得：，，a2=b2+c2，聯立解得：a，b．即可得出橢圓C的方程．

（2）設P（x0，y0），（x0＜0，y0＜0）A（2，0），B（0，1）．．可得直線BP，AP的方程分別為：y=x+1，y=（x-2），可得：M（，0），N（0，）．可得|AM||BN|為定值．

解：（1）由題意可得：+=1，=，a2=b2+c2，

聯立解得：a=2，b=1．

∴橢圓C的方程為：+y2=1．

（2）證明：設P（x0，y0），（x0＜0，y0＜0）A（2，0），B（0，1）．

+4=4．

可得直線BP，AP的方程分別為：y=x+1，y=（x-2），

可得：M（，0），N（0，）．

∴|AM|span>|BN|=（2-）（1-）=2--+==4為定值．