Question

【題目】平面內(nèi)一個整點的有限集稱為一個雙鄰集，如果對內(nèi)每個點，恰有點、、、中的兩點在內(nèi).問對怎樣的正整數(shù)，存在一個雙鄰集恰包含個整點?

Answer 1

【答案】和（偶數(shù)）.

【解析】

先證明結(jié)論：

一個雙鄰集恰包含個整點，則必為偶數(shù).將橫縱坐標(biāo)中一個相同，另一個相差1的兩整點叫作互為相鄰整點.用線段連結(jié)中的相鄰整點.因為中每一整點恰連出兩條線段，因此，雙鄰集內(nèi)全部整點可用連結(jié)相鄰整點的線段組成有限個不自交的閉折線圖形.

在每一閉折線圖形中，每兩個相鄰整點的橫縱坐標(biāo)之和只相差1，橫縱坐標(biāo)之和依次為偶數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、……，交替出現(xiàn).由于是閉折線，則任一個閉折線圖形整點個數(shù)必為偶數(shù)個.

再證：和（偶數(shù)）.

當(dāng)時，2個整點顯然無法構(gòu)成一個雙鄰集.

當(dāng)時，由于3個及3個以下的整點無法組

成閉折線圖形，則6個整點要成為一個雙鄰集，6個點組成的閉折線圖形只能是圖5所示的兩圖形之一.

圖中兩圖形顯然都不是雙鄰集.

4個整點、、、恰組成一個雙鄰集（邊長為1的正方形），則.

注意到10個整點、、、、、、、、、也組成一個雙鄰集（長為3寬為2的矩形邊上的10個整點）.

因此，當(dāng)時，取個4整點組成的雙鄰集，每兩個雙鄰集的距離（一個相鄰集中任一點到另一雙鄰集中任一點距離的最小值）大于1，將這個4整點雙鄰集合并為一個集合，這個集合當(dāng)然是恰含4個整點的雙鄰集.

當(dāng)時，由于，取個4整點組成的雙鄰集，取一個10整點組成的雙鄰集，每兩個雙鄰集的距離大于1.將這個4整點雙鄰集與一個10整點雙鄰集合并為一個集合，這個集合當(dāng)然是恰含個整點的雙鄰集.

因此，和（偶數(shù)）.