Question

【題目】平面上有12個點,且任意三點不共線,以其中任意一點為始點,另一點為終點作向量,且作出所有的向量.其中3邊向量的和為零向量的三角形稱為“零三角形”.求以這些點為頂點的“零三角形”個數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】70

【解析】

設(shè)這12個點分別為,這12個點確定的三角形共有個.設(shè)以

為始點的向量數(shù)為.若以某3點為頂點的三角形為“非零三角形”,則有且僅有1點是此三角形兩邊向量的始點,所以,以,為頂點之一且為兩邊始點的非零三角形”有個(規(guī)定).從而,以這些點為頂點的三角形中,“非零三角形的總數(shù)為.

因此,“零三角形”的個數(shù)為

先求的最小值

因為所以

因非負整數(shù)不超過11,故有最小值

若存在,使得可記.

顯然,則

.

又,則對于所有的下,只有當(dāng)或1時, 才取最小值即當(dāng)時, 取最小值.

所以, 的最小值為.

因此“零三角形”個數(shù)的最大值為.

注:此題中,因為,所以,不能用均值不等式求的最小值.故此最小值不為.