Question

【題目】如圖，在幾何體中，平面底面ABC，四邊形是正方形，，Q是的中點，且，．

求證：平面；

求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，交于點，連接，則四邊形是正方形，點是的中點，推導出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面．

（2）以為原點，，分別為軸和軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．

證明：（1）如圖所示，連接，交于點，連接．

因為四邊形是正方形，所以點是的中點，

又已知點是的中點，所以，且，

又因為，且，所以，且，

所以四邊形是平行四邊形，故，

因平面，平面，

故平面．

（2）如圖所示，以為原點，分別為軸和軸建立空間直角坐標系，

不妨設，

則，，，，

所以，．

設平面的法向量為，

則 即，取，則

平面的一個法向量，所以．

故二面角的平面角的余弦值為．