Question

【題目】如圖，在三棱錐中， ,平面 平面， 、分別為、的中點．

(1)求證： 平面；

(2)求證： ；

(3)求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3) .

【解析】試題分析：

(1)由三角形中位線的性質可得DE∥BC，結合線面平行的判斷定理可得DE∥平面PBC.

(2)連接PD，由等腰三角形三線合一可知PD⊥AB.且DE⊥AB.利用線面垂直的判斷定理有AB⊥平面PDE，故AB⊥PE.

(3)轉換頂點，將三棱錐看作以點P為頂點的三棱錐，計算可得，且PD是三棱錐P－BEC的高，計算可得由三棱錐體積公式可得其體積.

試題解析：

(1)證明：∵在△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點，∴DE∥BC.

∵DE平面PBC且BC平面PBC，∴DE∥平面PBC.

(2)證明：連接PD.∵PA＝PB，D為AB的中點，∴PD⊥AB.

∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB.又∵PD、DE是平面PDE內的相交直線，

∴AB⊥平面PDE.

∵PE平面PDE，∴AB⊥PE.

(3)解：∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，

∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱錐P－BEC的高．

又∵， .