Question

【題目】已知函數， 為函數的極值點.

（1）證明：當時， ；

（2）對于任意，都存在，使得，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1

【解析】試題分析：（1）求出，由，可得， ，等價于當時， 恒成立，設，利用導數研究函數的單調性，可得，從而可得結果；（2）令，可得，利用導數研究函數的單調性可得的最小值為，即的最小值為.

試題解析：（1），∴，

又∵為極值點， ，∴，

經檢驗符合題意，所以，

當時， ，可轉化為當時， 恒成立，

設，所以，

當時， ，所以在上為減函數，所以，

故當時， 成立.

（2）令，則，

解得，

同理，由，可得，

因為，又，所以，

令，

則，易知，

當時， ，當時， ，

即當時， 是減函數，當時， 是增函數，

所以的最小值為，即的最小值為.