Question

【題目】過圓上的點作圓的切線，過點作切線的垂線，若直線過拋物線的焦點.

（1）求直線與拋物線的方程；

（2）若直線與拋物線交于點，點在拋物線的準線上，且，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）.；（2）見解析.

【解析】【試題分析】（1）利用斜率求得過點的切線方程，由此得到垂線的斜率，再由點斜式得到直線的方程，令 可求得焦點的坐標，由此得出拋物線的方程.（2）聯立方程組求得兩點的坐標.設出點的坐標，利用向量的數量積求得點的坐標，利用弦長公式和點到直線的距離公式得出面積.

【試題解析】

（1）過點且與圓相切的直線方程為，

斜率為，故直線的斜率為，故直線的方程為： ，

即.

令，可得，故的坐標為，

∴，拋物線的方程為；

（2）由可得，

設， ，則， ， ，

點的坐標分別為， .

設點的坐標為，則， ，

則，解之得或，

∴ ，

則點到直線的距離為，故或，

當時， 的面積為.

當時， 的面積為.