Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數在點處的切線方程；

（2）求函數的單調區間；

（3） 求證：當時，恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）求出函數的導函數，得到切線斜率，利用點斜式得到切線方程；

（2）解不等式即可得到函數的單調區間；

（3）要證恒成立，即證恒成立.分別求左側函數與右側函數的最小值與最大值即可.

（1）解：∵，，

∴.

∴.又∵，

∴，即.

∴函數在點處的切線方程為.

（2）解：函數的定義域為.

，

當時，；當時，.

∴函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（3）證明：由，得，

∴要證恒成立，即證恒成立.

令，，.

∵，

∴當時，，為增函數；

當時，，為減函數.

∴.

又∵，

∴當時，，為增函數；

當時，，為減函數.

∴.

∴恒成立.

∴當時，恒成立.