Question

已知函數f（x）=

( 1 2 )x-1，  (x≤0) -x2+2x， (x＞0)

，對于下列命題：
①函數f（x）的最小值為0；
②函數f（x）在R上是單調遞減函數；
③若f（x）＞1，則x＜-1；  
④若函數y=f（x）-a有三個零點，則a的取值范圍是0＜a＜1．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：閱讀型,數形結合,函數的性質及應用

分析：畫出函數f（x）的圖象，通過圖象觀察得到①函數f（x）無最大值和最小值，即可判斷；②通過圖象觀察函數有增有減，即可判斷②；③通過圖象得到（

1

2

）^x-1＞1，由指數不等式的解法，得到x的解即可判斷；④通過圖象觀察直線y=a與曲線有三個交點，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：畫出函數f（x）的圖象，通過圖象觀察得到：
①函數f（x）無最大值和最小值，故①錯；
②函數的增區間為（0，1），減區間為（-∞，0），（1，+∞）
故②錯；
③若f（x）＞1，則（

1

2

）^x-1＞1，得到x＜-1．故③正確；
④若函數y=f（x）-a有三個零點，則作出y=a，如圖得到
0＜a＜1．故④正確．
故答案為：③④．

點評：本題考查分段函數的圖象及應用，考查函數的單調性和應用，考查指數不等式的解法，同時考查數形結合的思想方法，屬于基礎題．