Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程是（是參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，其傾斜角為．

（Ⅰ）證明直線恒過定點，并寫出直線的參數方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若直線與曲線交于，兩點，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析，（是參數）；（Ⅱ）．

【解析】

（1）利用極坐標與直角坐標的互化將直線方程化為普通方程，從而可求出定點，再將直線方程寫成參數方程的形式即可.

（2）將曲線化為直角坐標方程，再將直線的參數方程代入曲線方程，整理成關于的一元二次方程的形式，利用韋達定理以及參數的幾何意義即可求解.

（Ⅰ）由極坐標與直角坐標互化公式

可得直線的方程為：，即

故直線恒過定點

所以直線的參數方程為（是參數）

（Ⅱ）由曲線的參數方程（是參數）

得曲線的普通方程：，即

將代入上式整理得：

設兩根為，則

由兩點對應的參數分別為，故

故的值為．