Question

【題目】已知橢圓的左頂點為，左、右焦點分別為，離心率為，是橢圓上的一個動點（不與左、右頂點重合），且的周長為6，點關于原點的對稱點為，直線交于點.

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于另一點，且，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根據的周長為，結合離心率，求出，即可求出方程；

（2）設，則，求出直線方程，若斜率不存在，求出坐標，直接驗證是否滿足題意，若斜率存在，求出其方程，與直線方程聯立，求出點坐標，根據和三點共線，將點坐標用表示，坐標代入橢圓方程，即可求解.

（1）因為橢圓的離心率為，的周長為6，

設橢圓的焦距為，則

解得，，，

所以橢圓方程為.

（2）設，則，且，

所以的方程為①.

若，則的方程為②，由對稱性不妨令點在軸上方，

則，，聯立①，②解得即.

的方程為，代入橢圓方程得

，整理得，

或，.

，不符合條件.

若，則的方程為，

即③.

聯立①，③可解得所以.

因為，設

所以，即.

又因為位于軸異側，所以.

因為三點共線，即應與共線，

所以，即，

所以，又，

所以，解得，所以，

所以點的坐標為或.