Question

下列命題中真命題為

 

．（只填正確命題的序號）
①函數f（x）=

3x-5

2x+1

的圖象關于點（-

1

2

，

3

2

）對稱；
②命題“任意x∈R，均有x²+2x-3≥0”的否定是：“存在x∈R，使得x²+2x-3＜0
③函數f（x）=（x-1）²在點（0，1）處的切線與坐標軸圍成圖形的面積是1；
④將函數f（x）=sin（x-

π

4

）（x∈R）的圖象向右平移

π

4

個單位得到的圖象關于y軸對稱．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用,三角函數的圖像與性質

分析：①將反比例函數圖象平移即可得到f（x）的圖象，由反比例函數圖象關于原點對稱，即可判斷；
②由含有一個量詞的命題的否定形式，即可判斷；
③求出導數，和切線的斜率，寫出切線方程，求出兩坐標軸的交點，即可求出面積；
④由三角函數的圖象平移規律，和誘導公式，以及三角函數的性質，即可判斷．

解答： 解：①f（x）=

3x-5

2x+1

即f（x）=

3

2

-

13 4

x+ 1 2

，f（x）的圖象可由y=

- 13 4

x

的圖象向左平移

1

2

個單位，
再向上平移

3

2

個單位得到，而y=

- 13 4

x

的圖象關于原點對稱，故f（x）的圖象關于點（-

1

2

，

3

2

）對稱．
故①對；
②命題“任意x∈R，均有x²+2x-3≥0”的否定是：“存在x∈R，使得x²+2x-3＜0”，故②對；
③由于f′（x）=2（x-1），在（0，1）處的切線斜率為-2，則切線方程為y=1-2x，與坐標軸圍成的面積為

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，故③錯；
④將函數f（x）=sin（x-

π

4

）（x∈R）的圖象向右平移

π

4

個單位得到y=sin（x-

π

2

）
即y=-cosx，其圖象關于y軸對稱，故④對．
故答案為：①②④．

點評：本題考查函數圖象平移的規律，函數的對稱性，考查運用導數求切線方程，以及命題的否定，屬于基礎題．