Question

學習合情推理后，甲、乙兩位同學各舉一個例子．
甲：由“若三角形周長為l，面積為S，則其內切圓半徑r=

2S

l

”類比可得“若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內切球半徑r=

3V

S

”；
乙：由“若直角三角形兩直角邊長分別為a，b，則其外接圓半徑r=

a2+b2

2

”類比可得“若三棱錐三條側棱兩兩垂直，側棱長分別為a，b，c，則其外接球半徑r=

a2+b2+c2

3

”．
這兩位同學類比得出的結論判斷正確的是

 

．（請將序號填寫在橫線上）
①甲對，②乙對，③甲錯，④乙錯．

Answer 1

考點：類比推理

專題：計算題,推理和證明

分析：本題考查的知識點是類比推理，但歸納推理和類比推理的結論不一定正確，我們還要繼續進一步證明結論，由此三棱錐的外接球半徑等于長方體的外接球半徑，可求得其半徑r=

a2+b2+c2

2

，因此，乙同學類比的結論是錯誤的．

解答： 解：甲的結論：若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內切球半徑r=

3V

S

”證明如下：
設三棱錐的四個面積分別為：S₁，S₂，S₃，S₄，
由于內切球到各面的距離等于內切球的半徑
∴V=

1

3

S₁×r+

1

3

S₂×r+

1

3

S₃×r+

1

3

S₄×=

1

3

S×r
∴內切球半徑r=

3V

S

甲同學的類比結論是正確的
而若三棱錐三條側棱兩兩垂直，側棱長分別為a、b、c
其外接球直徑等于棱長為a、b、c的長方體的對角線長
∴2r=

a2+b2+c2

∴r=

a2+b2+c2

2

≠

a2+b2+c2

3

故乙同學的類比結論是不正確的
故答案為：①④．

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．判斷一個推理過程是否是類比推理關鍵是看他是否符合類比推理的定義，即是否是由特殊到與它類似的另一個特殊的推理過程．