Question

若二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象和直線y=3x無交點，現(xiàn)有下列結論：
①方程f（f（x））=9x一定沒有實數(shù)根； 
②若a＜0，則必存在實數(shù)x₀，使f（f（x₀））＞9x₀；
③函數(shù)g（x）=ax²-bx+c的圖象與直線y=-3x也一定沒有交點；
④若a+b+c=0，則不等式f（f（x））＜9x對一切實數(shù)都成立；
其中正確的結論是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由函數(shù)f（x）的圖象與直線y=3x沒有交點，所以f（x）＞3x（a＞0）或f（x）＜3x（a＜0）恒成立．進而逐一由此判斷①～④的真假即可得到答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=3x沒有交點，所以f（x）＞3x（a＞0）或f（x）＜3x（a＜0）恒成立．
因為f（f（x））＞3f（x）＞9x或f（f（x））＜3f（x）＜9x恒成立，所以f（f（x））=9x沒有實數(shù)根；
故①正確；
若a＜0，由題意知，二次函數(shù)的圖象必在直線y=3x的圖象下方，則不等式f（f（x）＜9x對一切實數(shù)x都成立，所以不存在x₀，使f（f（x₀））＞9x₀；
故②錯誤；
函數(shù)g（x）=f（-x），與f（x）的圖象關于y軸對稱，所以g（x）和直線y=-3x也一定沒有交點．
故③正確；
若a+b+c=0，則f（1）=0，此時y=3x=3，故a＜0，由①得：不等式f（f（x））＜9x對一切實數(shù)都成立；
故④正確；
故正確的結論有：①③④
故答案為：①③④

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，其中根據(jù)已知得到f（x）＞3x（a＞0）或f（x）＜3x（a＜0）恒成立是解答本題的關鍵．