Question

設函數f（x）=p（x-

1

x

）-2lnx，g（x）=

2e

x

（p＞1，e是自然對數的底數）
（1）若對任意x∈[2，e]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求p的取值范圍；
（2）若對任意x₁∈[2，e]，存在x₂∈[2，e]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，求p的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知不等式f(x)-g(x)=p•(x-

1

x

)-2lnx-

2e

x

＞0對x∈[2，e]恒成立，得p＞

2xlnx+2e

x2-1

對x∈[2，e]恒成立．令h（x）=

2xlnx+2e

x2-1

，x∈[2，e]，則p＞[h（x）]_min，[h（x）]_max=h（2）=

4ln2+2e

3

，故p＞

4ln2+2e

3

．
（Ⅱ）依題意[f（x）]_min＞[g（x）]_min，f′（x）=p+

p

x2

-

2

x

＞0，得f（x）在[2，e]單調遞增．又g（x）=

2e

x

在[2，e]單調遞減，故f（2）＞g（e），解得p＞

4+4ln2

3

．

解答： 解：（Ⅰ）由已知不等式f(x)-g(x)=p•(x-

1

x

)-2lnx-

2e

x

＞0對x∈[2，e]恒成立，
∴p＞

2xlnx+2e

x2-1

對x∈[2，e]恒成立．
令h（x）=

2xlnx+2e

x2-1

，x∈[2，e]，則p＞[h（x）]_max．
∵h′（x）=

-2(1+x2)lnx-2x(2e-x)-2

(x2-1)2

＜0．
∴h（x）在區間[2，e]上是減函數，
∴[h（x）]_max=h（2）=

4ln2+2e

3

，
故p＞

4ln2+2e

3

．
（Ⅱ）依題意[f（x）]_min＞[g（x）]_min，
∵f′（x）=p+

p

x2

-

2

x

＞0，
∴f（x）在[2，e]單調遞增．
又g（x）=

2e

x

在[2，e]單調遞減，故f（2）＞g（e），解得p＞

4+4ln2

3

．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查參數的取值問題，導數的應用，是一道綜合題．