Question

已知函數f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函數．
（Ⅰ）實數m的取值集合為A，當m取值集合A中的最小值時，定義數列{a_n}：滿足a₁=3，且a_n＞0，a_n+1=

-3f′(an)+9

（n∈N^*），求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）結論，若b₂=

(sn-2)•3n

4n•an

（n∈N^*），數列{b_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＜

2

3

．

Answer 1

考點：數列的求和,利用導數研究函數的單調性

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出f′（x）=-3x²+3，由此推導出數列{a_n}是以3為首項和公比的等比數列，從而得到an=3n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=

(3n-2)•3n

4n•an

=

3n-2

4n

，由此利用錯位相減法能證明S_n＜

2

3

．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函數，
∴f′（x）=-3x²+m≥0在（0，1）上恒成立，即m≥3x²，解得m≥3，
∴實數m的取值集合A={m|m≥3}，∴m=3，
∴f′（x）=-3x²+3，
∵an+1=

-3f′(an)+9

，a_n＞0
∴an+1=

9an2

=3a_n，∴

an+1

an

=3，
∴數列{a_n}是以3為首項和公比的等比數列，故an=3n．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得b_n=

(3n-2)•3n

4n•an

=

3n-2

4n

，
∴Sn=

1

4

+

4

42

+

7

43

+…+

3n-2

4n

，①

1

4

Sn=

1

42

+

4

43

+

7

44

+…+

3n-2

4n+1

，②
①-②，得：

3

4

Sn=

1

4

+3(

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

)-

3n-2

4n+1

=

1

4

+3×

1 16 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-

3n-2

4n+1

，
∴S_n=

2

3

-

3n+2

3•4n

，
∵n∈N^*，∴

3n+2

3•4n

＞0，∴S_n＜

2

3

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．