Question

【題目】2019年女排世界杯（第13屆女排世界杯）是由國際排聯舉辦的賽事，比賽于2019年9月14日至9月29日在日本舉行，共有12支參賽隊伍.本次比賽啟用了新的排球用球_，已知這種球的質量指標ξ（單位：）服從正態分布.比賽賽制采取單循環方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍.積分規則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以或取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以取勝的球隊積2分，負隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為中國隊和美國隊，中國隊積26分，美國隊積22分.第10輪中國隊對抗塞爾維亞隊，設每局比賽中國隊取勝的概率為.

（1）如果比賽準備了1000個排球，估計質量指標在內的排球個數（計算結果取整數）

（2）第10輪比賽中，記中國隊取勝的概率為，求出的最大值點，并以作為p的值，解決下列問題.

（i）在第10輪比賽中，中國隊所得積分為X，求X的分布列；

（ii）已知第10輪美國隊積3分，判斷中國隊能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結果如何，中國隊積分最多）？若能，求出相應的概率；若不能，請說明理由.

參考數據：，則，

，.

Answer 1

【答案】（1）477個；（2）；（i）見解析；（ii）能提前一輪奪得冠軍，.

【解析】

（1）由正態分布原則即可求出排球個數；

（2）根據二項分布先求出，再利用導數求出取最大值時的值；根據比賽積分規則，得出中國隊得分可能的取值，然后求出其分布列；由的分布列分析即可得出能否提前一輪奪得冠軍并求得其概率.

解：∵，∴

所以質量指標在內的排球個數約為個

（2），.

令，得.

當時，，在上為增函數；

當時，，在上為減函數.

所以的最大值點.從而.

的可能取值為.

，

，

，

，

的分布列為

	3	2	1	0

若，則中國隊10輪后的總積分為29分，美國隊即便第10輪和第11輪都積3分，則11輪過后的總積分是28分，，所以，中國隊如果第10輪積3分，則可提前一輪奪得冠軍，其概率為.