Question

【題目】已知橢圓，四點，，，中恰有三個點在橢圓上，左、右焦點分別為、．

（1）求橢圓的方程；

（2）過左焦點且不與坐標軸平行的直線交橢圓于、兩點，若線段的垂直平分線交軸于點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）利用橢圓的對稱性確定在橢圓上的三點，由橢圓的上頂點可求出a，點或的坐標代入橢圓求出b，即可寫出橢圓的方程；（2）聯立直線的方程與橢圓方程得關于x的一元二次方程，利用韋達定理求出兩根之和與兩根之積，即可利用弦長公式求出，求出點N的坐標即可寫出直線的垂直平分線的方程，令求出，代入得到關于k的分式，利用基本不等式可求得最小值.

（1）易知，關于軸對稱，一定都在橢圓上，所以一定不在橢圓上，根據題意也在橢圓上，則，

將代入橢圓方程得，

所以橢圓方程為.

（2）由知橢圓的左焦點,

設直線的方程為（），，，的中點為.

聯立，可得，

則，，

所以，，

點，

，

垂直平分線方程為：，

令，求得，則，

所以，當且僅當即時取等號，

因此，當，取最小值.