Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）不需證明，直接寫出的奇偶性：

（Ⅱ）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)：

（Ⅲ）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）奇函數(shù)；（Ⅱ）在和上單調(diào)遞增；證明見解析；（Ⅲ）證明見解析．

【解析】

（Ⅰ）先計(jì)算出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)簡單函數(shù)的奇偶性，簡單判斷可得結(jié)果.

（Ⅱ）計(jì)算函數(shù)，可得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，然后利用零點(diǎn)存在性定理以及函數(shù)的奇偶性，可得結(jié)果.

（Ⅲ）簡單判斷可知點(diǎn)在曲線上，計(jì)算直線的斜率以及曲線在點(diǎn)處切線的斜率和曲線在點(diǎn)處切線的斜率即可.

（Ⅰ）定義域?yàn)?/span>，函數(shù)為奇函數(shù)．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，

由（Ⅰ）知，為奇函數(shù)，且

所以，在和上單調(diào)遞增．

在上，，

所以在上有唯一零點(diǎn)，即．

又為奇函數(shù)，．

故在上有唯一零點(diǎn)．

綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．

（Ⅲ）因?yàn)?/span>，故點(diǎn)在曲線上．

由題設(shè)知即，連接，

則直線的斜率

曲線在點(diǎn)處切線的斜率是；

曲線在點(diǎn)處切線的斜率也是．

所以曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．