Question

【題目】試求所有由互異正奇數構成的三元集{a，b，c}，使其滿足：.

Answer 1

【答案】7個，，，.

【解析】

據對稱性，不妨設a<b<c，由于奇平方數的末位數字只具有1、5、9形式，于是的末位數字，要么是5、5、9的形式，要么是1、9、9的形式.

又知，如果正整數n是3的倍數，那么n2必是9的倍數；如果n不是3的倍數，那么n2被3除余1.

由于2019是3的倍數，但不是9的倍數，因此奇數a、b、c皆不是3的倍數.

注意，即奇數c≤43，而，

即c2>673，且c不是3的倍數，故奇數c≥29.

因此奇數.

注意如下事實：如果奇數為兩個正整數的平方和，那么偶數2N必可表為兩個互異正奇數的平方和.

這是由于，

若c=43，方程化為：.

因此，.

于是得兩解：.

若c=41，方程化為.

由此得：{a，b，c}={7，17，41}.

若c=37，方程化為

，

因此，，

得到三個解：.

若c=35，方程化為：.

而397是一個4N+1型的質數，它可唯一地表為兩整數的平方和：，

所以，

得到一個解：{a，b，c}={13，25，35}

若c=31，方程化為：，而23是4N－1型的質數，它不能表為兩個正整數的平方和.

若c=29，方程化為：，它含有4N－1型的單質因子，故不能表為兩整數的平方和.

綜合以上討論，本題共有七個滿足條件的互異正奇數解{a，b，c}，即為：

，，.