Question

【題目】垃圾分類，是指按一定規定或標準將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運，從而轉變成公共資源的一系列活動的總稱．分類的目的是提高垃圾的資源價值和經濟價值，力爭物盡其用．2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法．到2020年底，先行先試的46個重點城市，要基本建成垃圾分類處理系統；其他地級城市實現公共機構生活垃圾分類全覆蓋．某機構欲組建一個有關“垃圾分類”相關事宜的項目組，對各個地區“垃圾分類”的處理模式進行相關報道．該機構從600名員工中進行篩選，篩選方法：每位員工測試，，三項工作，3項測試中至少2項測試“不合格”的員工，將被認定為“暫定”，有且只有一項測試“不合格”的員工將再測試，兩項，如果這兩項中有1項以上（含1項）測試“不合格”，將也被認定為“暫定”，每位員工測試，，三項工作相互獨立，每一項測試“不合格”的概率均為．

（1）記某位員工被認定為“暫定”的概率為，求；

（2）每位員工不需要重新測試的費用為90元，需要重新測試的總費用為150元，除測試費用外，其他費用總計為1萬元，若該機構的預算為8萬元，且該600名員工全部參與測試，問上述方案是否會超過預算?請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不會超過預算.

【解析】

（1）利用互斥事件的概率加法計算公式和n次獨立重復實驗的概率計算公式進行求解即可；

（2）設每位員工測試的費用為元，則可能的取值為，利用n次獨立重復實驗的概率計算公式和離散型隨機變量的數學期望公式求出數學期望的表達式，通過構造函數，利用導數判斷函數的單調性求最值即可.

（1）由題意知，每位員工首輪測試被認定為“暫定”的概率為，

每位員工再次測試被認定為“暫定”的概率為，

綜上可知，每位員工被認定為“暫定”的概率為

+

，

（2）設每位員工測試的費用為元，則可能的取值為，

由題意知，，，

所以隨機變量的數學期望為

（元），，

令，則

，

所以當時，；當時，；

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，即(元)，

所以此方案的最高費用為（萬元），

綜上可知，若以此方案實施不會超過預算.