Question

【題目】如圖，四棱錐PABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;

（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判定定理可證；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)?/span>軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過求直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值來求解與平面所成角的正弦值．

試題解析：（Ⅰ）由已知得.

取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，.

又，故，四邊形為平行四邊形，于是.

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié).由得，從而，且

.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)?/span>軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意知，

，，，，

， ， .

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則

即

可取.

于是.