Question

【題目】有如下命題：①函數y=sinx與y=x的圖象恰有三個交點；②函數y=sinx與y=的圖象恰有一個交點；③函數y=sinx與y=x2的圖象恰有兩個交點；④函數y=sinx與y=x3的圖象恰有三個交點，其中真命題的個數為（　　）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①構造函數f（x）=sinx-x，求出函數的導數，研究函數的導數和單調性，進行判斷即可；

②利用與x的關系進行轉化判斷；

③和④直接作出兩個函數的圖象即可進行判斷.

①設f（x）=sinx-x，則f′（x）=cosx-1≤0，即函數f（x）為減函數，

∵f（0）=0，

∴函數f（x）只有一個零點，即函數y=sinx與y=x的圖象恰有一個交點，故①錯誤，

②由①知當x＞0時，sinx＜x，

當0＜x≤1時，＞x＞sinx，

當x＞1時，＞sinx，

當x=0時，sinx=，綜上當x＞0時，＞sinx恒成立，

函數y=sinx與y=的圖象恰有一個交點，故②正確，

③作出函數y=sinx與y=x2，的圖象，由圖象知兩個函數有2個交點，即函數y=sinx與y=x2的圖象恰有兩個交點，故③正確，

④作出函數y=sinx與y=x3，的圖象，由圖象知兩個函數有3個交點，即函數y=sinx與y=x3的圖象恰有三個交點，故④正確，

故正確的是②③④，

故選C．