Question

【題目】如圖1，梯形中， 為中點.將沿翻折到的位置，如圖2.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）設分別為和的中點，試比較三棱錐和三棱錐（圖中未畫出）的體積大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）體積相等.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意，利用線面垂直的判定定理，證得平面，再利用面面垂直的判定定理，即可證得，所以平面 平面.

（Ⅱ）根據題設中的垂直關系，建立空間直角坐標系，求出平面和平面的各自一個法向量，利用向量所成的角，即可求解線面角的正弦值.

（Ⅲ）方法一：先證得平面，可得點到平面的距離相等，即可得到三棱錐和同底等高，所以體積相等；

方法二：取中點，連接， ， ，分別得到， ，進而證得平面，即可點、到平面的距離相等，所以三棱錐和同底等高，所以體積相等；

試題解析：

（Ⅰ）證明：因為， ， ， ， 平面

所以平面因為平面，所以平面 平面

（Ⅱ）解：在平面內作，

由平面，建系如圖.

則， ， ， ， . ， ， ，

設平面的法向量為，則

，即，令得， ，

所以是平面的一個方向量.

所以與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）解：三棱錐和三棱錐的體積相等.

理由如:

方法一：由， ，知，則

因為平面，所以平面.

故點、到平面的距離相等，有三棱錐和同底等高，所以體積相等.

方法二：如圖，取中點，連接， ， .

因為在中， ， 分別是， 的中點，所以

因為在正方形中， ， 分別是， 的中點，所以

因為， ， 平面， ， 平面

所以平面 平面

因為平面，所以平面

故點、到平面的距離相等，有三棱錐和同底等高，所以體積相等.