Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求證：“”是“函數有且只有一個零點” 的充分必要條件.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據切線的幾何意義得到切線的斜率， ，所以切線方程為；（2）先證充分性再證必要性，含參討論，函數圖像和x軸的交點情況。

解析：

（Ⅰ）依題意，

所以切線的斜率

又因為，所以切線方程為.

（Ⅱ）先證不必要性.

當時， ，令，解得.

此時， 有且只有一個零點，故“有且只有一個零點則”不成立.

再證充分性.

方法一：

當時， .

令，解得.

（i）當，即時， ，

所以在上單調增.

又，

所以有且只有一個零點.

（ii）當，即時，

， 隨的變化情況如下:

				0
		0		0
		極大值		極小值

當時， ， ，所以

又

所以有且只有一個零點.

（iii）當，即時， ， 隨的變化情況如下:

		0
		0		0
		極大值		極小值

因為，所以時，

令，則.

下面證明當時， .

設，則.

當時， 在上單調遞增；

當時， 在上單調遞減

所以當時， 取得極大值.

所以當時， , 即.

所以.

由零點存在定理， 有且只有一個零點.

綜上， 是函數有且只有一個零點的充分不必要條件.

方法二：

當時，注意到時， ， ， ，

因此只需要考察上的函數零點.

（i）當，即時， 時， ，

單調遞增.

又

有且只有一個零點.

（ii）當，即時，以下同方法一.