Question

【題目】狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學中的一個典型函數(shù)，若，則稱為狄利克雷函數(shù)．對于狄利克雷函數(shù)，給出下面4個命題：①對任意，都有；②對任意，都有；③對任意，都有， ；④對任意，都有．其中所有真命題的序號是（ ）

A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】①當x∈Q，則f（x）=1，f（1）=1，則[f（x）]=1，當x為無理數(shù)時，則f（x）=0，f（0）=1，則[f（x）]=1，即對任意x∈R，都有f[f（x）]=1，故①正確，②當x∈Q，則-x∈Q，則f（-x）=1，f（x）=1，此時f（-x）=f（x），當x為無理數(shù)時，則-x是無理數(shù)，則f（-x）=0，f（x）=0，此時f（-x）=f（x），即恒有f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故②錯誤，③當是無理數(shù)時， 是無理數(shù)，所以，當是有理數(shù)時， 是有理數(shù)，所以，故③正確，④∵f（x）≥0恒成立，∴對任意a，b∈（-∞，0），都有 ，故④正確，故正確的命題是①③④，故選D.