Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx+2，g（x）=x2﹣mx．
（Ⅰ）求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=0有兩個不同的實數根，求證：f（1）+g（1）＜0；
（Ⅲ）若存在x0∈[ ，e]使得mf′（x）+g（x）≥2x+m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1， 令f′（x）＞0，解得：x＞ ，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，
∴f（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，
若t≥ ，則f（x）在[t，t+2]遞增，
∴f（x）min=f（t）=tlnt+2，
若0＜t＜ ，則f（x）在[t， ）遞減，在（ ，t+2]遞增，
∴f（x）min=f（ ）=2﹣ ；
（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=0有兩個不同的實數根，
即m=lnx+x+ 有兩個不同的實數根，
令h（x）=lnx+x+ ，（x＞0），
即函數y=m和h（x）=lnx+x+ 有兩個不同的交點，
而h′（x）= +1﹣ = ，
令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故h（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故h（x）≥h（1）=3，
故m＞3，
故f（1）+g（1）=3﹣m＜0；
（Ⅲ）若存在x0∈[ ，e]使得mf′（x）+g（x）≥2x+m成立，
即存在x0∈[ ，e]使得m≤ 成立，
令k（x）= ，x∈[ ，e]，則k′（x）= ，
易得2lnx﹣x＜0，
令k′（x）＞0，解得：x＞1，令k′（x）＜0，解得：x＜1，
故k（x）在[ ，1）遞減，在（1，e]遞增，
故k（x）的最大值是k（ ）或k（e），
而k（ ）= ＜k（e）= ，
故m≤ ．
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，通過討論t的范圍，求出函數的最小值即可；（Ⅱ）問題轉化為m=lnx+x+ 有兩個不同的實數根，令h（x）=lnx+x+ ，（x＞0），根據函數的單調性求出h（x）的最小值，求出m的范圍，從而判斷f（1）+g（1）的符號即可；（Ⅲ）問題轉化為存在x0∈[ ，e]使得m≤ 成立，令k（x）= ，x∈[ ，e]，根據函數的單調性求出m的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．