Question

【題目】已知拋物線T的焦點為F，準線為l，過F的直線m與T交于A，B兩點，C，D分別為A，B在l上的射影，M為AB的中點，若m與l不平行，則△CMD是(　　)

A. 等腰三角形且為銳角三角形

B. 等腰三角形且為鈍角三角形

C. 等腰直角三角形

D. 非等腰的直角三角形

Answer 1

【答案】A

【解析】不妨設拋物線T的方程為y2＝2px(p>0).∵點A在拋物線y2＝2px上，F為拋物線的焦點，C，D分別為A，B在l上的射影，M為AB的中點，NM是M到拋物線準線的垂線，垂足為N，準線與x軸的交點為E，如圖：

∴△CMD中，|CN|＝|ND|，所以△CMD是等腰三角形，

又根據拋物線定義，|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，

∴∠CFD＝∠CFE＋∠DFE＝∠ACF＋∠BDF＝∠AFC＋∠BFD.

可得∠CFD＝90°，又|MN|>|EF|，可得∠CMD<90°.

則△CMD是等腰三角形且為銳角三角形.

答案　A