Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，C1的參數方程為 (t為參數)，在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，C2的極坐標方程ρ2－2ρcos θ－3＝0.

(Ⅰ)說明C2是哪種曲線，并將C2的方程化為普通方程；

(Ⅱ)C1與C2有兩個公共點A，B，定點P的極坐標，求線段AB的長及定點P到A，B兩點的距離之積．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)C2是圓，C2的普通方程是：(x－1)2＋y2＝4.(Ⅱ)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）C2是圓，利用極坐標方程與普通方程轉化方法，將C2的方程化為普通方程；（2）利用參數的幾何意義，求線段AB的長及定點P到A，B兩點的距離之積．

試題解析：

(Ⅰ)C2是圓，C2的極坐標方程ρ2－2ρcos θ－3＝0，

化為普通方程：x2＋y2－2x－3＝0即：(x－1)2＋y2＝4.

(Ⅱ)P的極坐標為，

平面直角坐標為(1,1)，在直線C1上，

將C1的參數方程為(t為參數)

代入x2＋y2－2x－3＝0中得：

2＋2－2－3＝0

化簡得：t2＋t－3＝0 設兩根分別為t1，t2，

由韋達定理知：

所以AB的長|AB|＝|t1－t2|

＝＝＝，

定點P到A，B兩點的距離之積

|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.